SSS · SAS · ASA congruence test
LESSON 2.4 · ACHIEVEMENT [9수04-04]

삼각형의 합동조건

6쌍 다 확인하지 않고 — 3쌍만으로 합동을 판정하는 세 가지 황금률.

HOOK · 효율적인 판정

6쌍 다 보지 않고 3쌍만으로

두 삼각형의 합동을 확인하려면 변 3쌍 + 각 3쌍 = 총 6쌍이 같음을 보여야 할까요?

⚡ 3쌍이면 충분하다

2.3에서 배운 합동의 정의에 따르면 두 삼각형이 합동이려면 6쌍의 대응변·대응각이 모두 같아야 합니다. 그러나 매번 6쌍을 확인하는 것은 비효율적이죠.

다행히, 적절한 3쌍의 정보만 같으면 나머지 3쌍은 자동으로 같음이 보장됩니다. 그 적절한 3쌍의 조합이 바로 합동조건입니다 — 2.2에서 만났던 SSS·SAS·ASA와 같은 패턴입니다.

2.2의 "작도 결정조건" = 2.4의 "합동조건". 같은 원리의 두 얼굴.

DEFINITION · 정의

합동조건이란 무엇인가

DEFINITION · 정의

삼각형의 합동조건

두 삼각형 $\triangle ABC$, $\triangle DEF$에 대해 다음 세 가지 중 어느 하나가 성립하면, 두 삼각형은 합동이다:

① SSS: 세 쌍의 대응변의 길이가 각각 같다.
② SAS: 두 쌍의 대응변의 길이와 그 끼인각의 크기가 각각 같다.
③ ASA: 한 쌍의 대응변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 각각 같다.

3쌍의 적절한 조건 → 6쌍 모두 같음을 보장 → 합동
THREE CONDITIONS · 세 조건

SSS · SAS · ASA

SSS
세 변이 각각 같다
A B C D E F

세 쌍의 대응변이 각각 같음 → 두 삼각형 합동.

Side · Side · Side
SAS
두 변 + 끼인각
A B C D E F

두 쌍의 대응변 + 그 끼인각 → 합동.

Side · Angle · Side
ASA
한 변 + 양 끝 각
A B C D E F

한 쌍의 대응변 + 양 끝의 대응각 → 합동.

Angle · Side · Angle
CAUTION · 주의

합동조건이 아닌 것

다음 두 경우는 합동조건이 아니다. 적절한 정보 조합이 아니라서 합동이 보장되지 않음:

• AAA: 세 쌍의 대응각만 같음 → 두 삼각형은 모양(닮음)만 같고 크기는 다를 수 있음.
• SSA: 두 쌍의 대응변과 끼이지 않은 각 → 모호 (합동·비합동 모두 가능).

AAA → 닮음. SSA → 모호. 둘 다 합동을 보장하지 않음.
CONNECTION · 2.2와의 연결

작도 결정조건 = 합동조건

2.2에서 "삼각형이 단 하나로 결정되는 조건"으로 SSS·SAS·ASA를 배웠습니다. 이는 사실 2.4의 "두 삼각형이 합동임을 보장하는 조건"과 동전의 양면입니다.

"한 가지 정보 조합으로 단 하나의 삼각형만 그릴 수 있다" ⇔ "같은 정보 조합을 만족하는 두 삼각형은 합동이다".

단 하나로 결정 ↔ 다른 조건 만족 시 합동 — 같은 원리의 두 얼굴
INTERACTIVE · 합동조건 판별 게임

어떤 합동조건인가?

주어진 조건이 어떤 합동조건(SSS/SAS/ASA)에 해당하는지, 또는 합동을 보장하지 않는지 판별하세요.

🎯 합동조건 판별

아래 5문항. 각 문항에서 SSS, SAS, ASA, 또는 "합동 아님"을 선택해 주세요.

CASE 1
$\triangle ABC$와 $\triangle DEF$에서 $\overline{AB} = \overline{DE}$, $\overline{AC} = \overline{DF}$, $\angle A = \angle D$.
CASE 2
$\triangle ABC$와 $\triangle DEF$에서 $\overline{AB} = \overline{DE}$, $\overline{BC} = \overline{EF}$, $\overline{CA} = \overline{FD}$.
CASE 3
$\triangle ABC$와 $\triangle DEF$에서 $\overline{BC} = \overline{EF}$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$.
CASE 4
$\triangle ABC$와 $\triangle DEF$에서 $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$.
CASE 5
$\triangle ABC$와 $\triangle DEF$에서 $\overline{AB} = \overline{DE}$, $\overline{BC} = \overline{EF}$, $\angle A = \angle D$. (끼인각이 아님 — $\angle A$는 $\overline{AB}$와 $\overline{AC}$ 사이의 각, $\overline{BC}$와는 떨어진 각)
QUICK CHECK · 개념 확인

바로 확인하기

Q1삼각형의 합동조건은 모두 몇 가지인가?
Q2"두 삼각형의 세 쌍의 대응변이 각각 같다"는 SSS 합동조건이다. (y / n)
Q3"두 삼각형의 세 쌍의 대응각이 각각 같다"면 두 삼각형은 합동인가? (y / n)
Q4SAS 조건의 "끼인각"은 두 변 사이의 각이어야 한다. (y / n)
Q5"한 쌍의 대응변과 그 양 끝의 대응각이 각각 같다"는 어떤 합동조건? (SSS / SAS / ASA 중)
EXAMPLES · 모범 풀이

예제로 익히기

EXAMPLE 01

합동조건 적용

$\triangle ABC$와 $\triangle DEF$에서 $\overline{AB} = \overline{DE}$, $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$일 때, 두 삼각형이 합동임을 보이고 적용된 합동조건을 답하시오.
주어진 조건: 한 쌍의 변 $\overline{AB}$, $\overline{DE}$ + 양 끝의 두 각 $\angle A$, $\angle B$ (대응 $\angle D$, $\angle E$).
한 변 + 양 끝 각 → ASA 합동조건.
$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ (ASA 합동).
합동, 조건: ASA
EXAMPLE 02

합동 결과로 대응값 구하기

$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$이고 합동조건이 SAS이다. $\overline{AB} = 6$ cm, $\overline{AC} = 8$ cm, $\angle A = 50°$일 때, $\overline{DE}, \overline{DF}, \angle D$의 값을 답하시오.
SAS 합동 → 두 쌍의 대응변과 끼인각이 같음 → 합동.
합동이므로 대응변·대응각 모두 같음.
$\overline{DE}$ ($\overline{AB}$의 대응) $= 6$ cm.
$\overline{DF}$ ($\overline{AC}$의 대응) $= 8$ cm.
$\angle D$ ($\angle A$의 대응) $= 50°$.
$\overline{DE} = 6$ cm, $\overline{DF} = 8$ cm, $\angle D = 50°$
PRACTICE · 연습 문제

단계별 문제 풀이

P-01 · ★
두 삼각형이 SSS 합동조건으로 합동임을 보이려면 무엇이 같음을 보여야 하는가?
SSS = Side · Side · Side → 세 쌍의 대응변.
P-02 · ★
합동조건이 아닌 것은?
AAA는 닮음 조건. 합동을 보장하지 않음.
P-03 · ★
두 삼각형에서 한 쌍의 변 길이와 그 양 끝의 두 각의 크기가 각각 같으면, 어떤 합동조건이 적용되는가?
한 변 + 양 끝 각 = Angle · Side · Angle → ASA.
P-04 · ★★
두 삼각형 $\triangle ABC$, $\triangle DEF$에서 $\overline{AB} = \overline{DE}$, $\overline{BC} = \overline{EF}$, $\angle B = \angle E$가 성립한다. 어떤 합동조건인가?
두 쌍의 대응변 $\overline{AB}, \overline{BC}$ + 그 사이의 각 $\angle B$.
$\angle B$는 $\overline{AB}$와 $\overline{BC}$의 끼인각.
SAS 합동조건.
P-05 · ★★
두 삼각형 $\triangle ABC$, $\triangle DEF$에서 $\overline{AB} = \overline{DE}$, $\overline{AC} = \overline{DF}$, $\angle B = \angle E$. 두 삼각형이 합동임을 보장할 수 있는가?
$\angle B$는 $\overline{AB}$와 $\overline{BC}$ 사이 각인데, 주어진 변은 $\overline{AB}$와 $\overline{AC}$.
$\angle B$는 $\overline{AB}, \overline{AC}$의 끼인각이 아니라 끼이지 않은 각.
두 변과 끼이지 않은 각 (SSA) → 합동 보장 X.
P-06 · ★★
$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$이고 합동조건이 ASA이다. $\angle A = 40°$, $\angle B = 80°$, $\overline{AB} = 6$ cm일 때, $\angle P$의 크기(°)는?
$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ → $A \leftrightarrow P$.
$\angle A$의 대응각이 $\angle P$ → $\angle P = \angle A = 40°$.
P-07 · ★★★
아래 그림에서 점 $O$가 $\overline{AB}$, $\overline{CD}$의 교점이고 $\overline{OA} = \overline{OB}$, $\overline{OC} = \overline{OD}$이다. $\triangle AOC$와 $\triangle BOD$가 합동인 이유는?
O A B C D
$\triangle AOC$와 $\triangle BOD$에서:
$\overline{OA} = \overline{OB}$ (조건).
$\overline{OC} = \overline{OD}$ (조건).
$\angle AOC = \angle BOD$ (맞꼭지각, 두 직선의 교점).
두 변과 끼인각 → SAS 합동.
P-08 · ★★★
아래 그림에서 $l \parallel m$이고 $\overline{AB} = \overline{CD}$이다. $\triangle ABE \equiv \triangle DCE$임을 보이려면 어떤 합동조건이 가장 적절한가? ($E$는 $\overline{AD}$, $\overline{BC}$의 교점)
$l \parallel m$ → 두 평행선이 횡단선과 만들 때.
$\overline{AB} = \overline{CD}$ (조건, 한 변 같음).
$\angle BAE = \angle CDE$ (엇각, 평행선의 성질).
$\angle ABE = \angle DCE$ (엇각, 평행선의 성질).
한 변 + 양 끝 각 → ASA 합동.
WRAP-UP · 정리

이번 시간에 배운 것

📌 핵심 한 줄 요약

두 삼각형의 합동을 보이려면 6쌍 다 확인하지 않아도 된다. SSS · SAS · ASA 세 합동조건 중 하나만 만족하면 합동.

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